Gli oscillatori – 2

Sul tema degli oscillatori il moto armonico è il migliore modo per approcciarli. Esso è graficamente definito come un Punto “P” che gira di moto uniforme antiorario intorno all’origine di un piano cartesiano e la sua Ombra “Q” è proiettata sull’asse delle ascisse oscillando tra i punti di coseno +1 e -1 al ruotare del Punto “P”; ed è notevole scoprire che, all’uniformità del moto del Punto “P”, corrisponde un movimento accelerato della sua Ombra “Q” che oscilla tra due massimi quando l’Ombra “Q” è sull’origine degli assi cartesiani e due minimi di valore zero 0 quando è sui punti di coseno +1 e -1. In Figura 1 la relativa rappresentazione grafica del moto armonico.

Figura 1

Il Punto “P” prosegue iniziando ogni suo nuovo giro di moto uniforme dove in Figura 1 è indicato il Punto “A” corrispondente al cos(α)=1 per α=0° ove la sua ombra “Q” è per un attimo nello stato di quiete. Procede in senso antiorario e la sua ombra “Q” inizia a muoversi sull’asse OA verso sinistra con moto accelerato fino a raggiungere il punto O di cos(α)=0 per α=90° con la massima velocità. Da qui il coseno di α decresce da 0 a -1 e il punto “Q” decelera fino a nuovamente azzerarsi per un attimo a cos(α)=-1 per α=180°. Il punto “P” prosegue e la sua Ombra ripercorre l’asse di ascissa da sinistra a destra accelerando nuovamente fino al punto “O” di cos(α)=0° per α=270* di nuova massima velocità e decelerando nuovamente azzerandosi per un attimo al punto “A” di cos(α)=+1 per α=360°. L’onda descritta dall’ombra “Q” sull’asse delle ascisse t (Tempo di rotazione del punto “P”) e sull’asse delle ordinate x (Ampiezza del raggio di rotazione del punto “P”) è una sinusoide graficamente come in Figura 2.

Figura 2

I simboli e le formule che governano il moto armonico sono:

ω, che indica la velocità angolare del punto “P”, è uguale a 2π/T ove “T” è il Tempo in secondi che impiega il punto “P” a compiere un giro. Ponendo T=10s sarà ω=2π/10=0,6283 ove 2π è in radianti l’angolo giro di 360°; quindi, ad ogni istante di “T” l’angolo α di Figura 1 sarà uguale a ωt: per t=0 sarà α=0,6283*0=0 e per t=2,5 sarà α=0.6283*2,5=1,5708 radianti pari a 90° e così via.

Da ω si ricavano le altre formule del moto armonico:
1. T=2π/ω come risoluzione dell’equazione ω=2π/T per T incognita.
2. f=1/T=ω/2π sostituendo T col suo valore 2π/ω – f (frequenza) indica il numero di giri del punto “Q” in 1 secondo. Col crescere di “T” “f” diminuisce e viceversa.
3. ω=2πf come risoluzione dell’equazione f=ω/2π per ω incognita.

In Figura 2 è il grafico spazio-temporale di 1 oscillazione sinusoide del punto “Q”. Il punto “O” è il centro di rotazione del punto “P” di Figura 1. Il segmento “OA” è il raggio di rotazione del punto “P” e il segmento “A-A”, il diametro della rotazione del punto “P”, è detto “ampiezza dell’oscillazione del punto “Q””. Le curve in “A” sono il cos(α)=+1 per α=0° e α=360°. La curva in “-A” è il cos(α)=-1 per α=180°. Le curve in “O” sono il cos(α)=0 per α=90° e α=270° . L’ordinata x è in metri e l’ascissa t è in secondi.
La formula x(t)=A*cos(ω*t) misura la posizione sulla curva di un punto x della curva all’attimo t del tempo, ove “A” è il raggio di rotazione del punto “P”.

Abbiamo detto che il punto “P” si muove di moto uniforme rotatorio in senso antiorario in torno all’origine “O” di un sistema di assi cartesiani, mentre il punto “Q”, la sua ombra, si muove di moto alternato accelerato lungo i punti di cos(α) pari a +1 , 0 e -1.

Conoscendo il raggio x (valore di A in Figura 2) di rotazione del punto “P” e il numero di secondi per completare un giro è possibili, per ogni istante t del punto “Q” calcolare la sua velocità e la sua accelerazione e, inoltre, la velocità massima ai punti di cos(α)=0 per α=90 e 270° e l’altezza del punto x.

v(t)=A*ω*sen(ω*t)
a(t)=A*ω²*cos(ω*t)
v_max=A*ω
x(t)=A*cos(ω*t)

Esempio:
Siano A=10m e T=1000s e t=10s allora:
ω=2π/T=0,0063
v(t₁₀)=A*ω*sen(ω*t)=0,0039m/s
a(t₁₀)=A*ω²*cos(ω*t)=0,0004m/s
v(_max)=A*ω=0,0628m/s
x(t₁₀)=A*cos(ω*t)=9,9803m sul punto di ascissa positva

Provare per credere e verificare per altri valori di t.

Naturalmente da autodidatta incolto non sono idoneo a dare formale dimostrazione delle formule che interessano il moto armonico qui esposto ma, per la comprensione di questo principio applicato al circuito oscillante di una radiolina a galena, l’esposizione e le formule qui trattate sono idonee a proseguire nello studio autodidattico della radiotecnica.